Probar que cero es igual a menos 1 (0=-1) usando integrales

Partimos de la siguiente igualdad

$$\int\tan x\ dx=\int\tan x\ dx$$

Recordemos la siguiente identidad trigonométrica \(\tan x=\sin x\sec x\), reemplazamos esto en el miembro derecho de la igualdad anterior

$$\int\tan x\ dx=\int\sin x\sec x\ dx$$

Integramos por partes

$$u=\sec x\Rightarrow du=\sec x\tan x\ dx$$

$$dv=\sin x\ dx\Rightarrow v=-\cos x$$

$$\int\tan x\ dx=-\cos x\sec x+\int\cos x\sec x\tan x\ dx$$

Como \(\cos x\sec x=1\)

$$\begin{align}\int\tan x\ dx&=-1+\int\tan x\ dx\\ \int\tan x\ dx-\int\tan x\ dx&=-1+\int\tan x\ dx-\int\tan x\ dx\\ 0&=-1 \end{align}$$

Razona dónde está el error y exprésate en los comentarios :)